Дано:
- Одна сторона треугольника равна 4.
- Длины двух других сторон относятся как 3:5.
Найти:
- Докажите, что периметр треугольника меньше 20.
Решение:
1. Пусть длины двух других сторон треугольника обозначим как 3k и 5k, где k — некое положительное число.
2. Сторона 4 известна. Для того чтобы треугольник существовал, необходимо, чтобы сумма длин любых двух сторон была больше длины третьей стороны.
3. Применим неравенство треугольника к данным сторонам:
- 4 + 3k > 5k
- 4 + 5k > 3k
- 3k + 5k > 4
4. Упростим каждое неравенство:
- 4 + 3k > 5k
4 > 5k - 3k
4 > 2k
k < 2
- 4 + 5k > 3k
4 > 3k - 5k
4 > -2k
k > -2 (это не накладывает ограничений, так как k всегда положительное)
- 3k + 5k > 4
8k > 4
k > 0.5
5. Таким образом, k должен удовлетворять условиям 0.5 < k < 2.
6. Рассчитаем периметр треугольника:
Периметр = 4 + 3k + 5k = 4 + 8k
7. Подставим пределы k:
- Для k = 0.5: Периметр = 4 + 8 * 0.5 = 4 + 4 = 8
- Для k = 2: Периметр = 4 + 8 * 2 = 4 + 16 = 20
Периметр будет меньше 20 при 0.5 < k < 2.
Ответ:
Периметр треугольника действительно меньше 20.