Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 1 (боковые стороны).
- Угол между боковыми сторонами равен 45°.
Найти:
- Доказать, что основание треугольника BC больше 1/2.
Решение:
1. Обозначим угол между боковыми сторонами как α. В нашем случае α = 45°.
2. Для нахождения длины основания BC можно использовать косинусное правило в треугольнике ABC. Косинусное правило гласит:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(α)
Подставим известные значения:
AB = 1, AC = 1, α = 45°
Получаем:
BC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * cos(45°)
3. Косинус угла 45° равен √2 / 2. Подставим это значение:
BC^2 = 1 + 1 - 2 * (√2 / 2)
Упростим:
BC^2 = 2 - √2
4. Найдем длину основания BC:
BC = √(2 - √2)
5. Теперь необходимо проверить, что BC > 1/2. Для этого сравним:
√(2 - √2) > 1/2
Квадратируем обе стороны неравенства:
2 - √2 > (1/2)^2
2 - √2 > 1/4
Переносим все в одну сторону:
2 - 1/4 > √2
7/4 > √2
Приблизительное значение √2 ≈ 1.414. Значение 7/4 = 1.75. Поскольку 1.75 > 1.414, неравенство верно.
Ответ:
Таким образом, основание треугольника BC действительно больше 1/2.