Дано: Выпуклый четырехугольник ABCD, где M и N — середины сторон AB и CD соответственно, а P и Q — середины сторон BC и DA соответственно. Найти: Доказать, что отрезок MN (средняя линия) меньше полусуммы диагоналей четырехугольника AC и BD.
Решение:
1. Отметим, что отрезок MN соединяет середины противоположных сторон четырехугольника ABCD. Следовательно, MN — это средняя линия четырехугольника и её длина равна половине разности длин диагоналей.
2. Обозначим длины диагоналей AC и BD как d1 и d2 соответственно.
3. Согласно теореме о средней линии выпуклого четырехугольника, длина отрезка MN равна:
MN = 0.5 * |d1 - d2|
4. Теперь нам нужно показать, что:
MN < 0.5 * (d1 + d2)
Подставляем значение MN:
0.5 * |d1 - d2| < 0.5 * (d1 + d2)
5. Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
|d1 - d2| < d1 + d2
6. Поскольку модуль разности двух чисел всегда меньше суммы этих чисел, неравенство |d1 - d2| < d1 + d2 всегда верно.
Ответ:
Таким образом, отрезок MN, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, действительно меньше полусуммы его диагоналей.