Дано: Треугольник ABC и произвольная точка O внутри или на стороне треугольника.
Найти: Доказать, что AB + BC > AO + OC.
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ABO и BCO.
2. По неравенству треугольника, для треугольника ABO:
AB + AO > BO
3. По неравенству треугольника, для треугольника BCO:
BC + BO > CO
4. Сложим два неравенства:
(AB + AO) + (BC + BO) > BO + CO
5. Упростим выражение, отменив BO с обеих сторон:
AB + AO + BC > CO + BO
6. Поскольку BO + CO >= AO, имеем:
AB + BC > AO + CO
Ответ:
Таким образом, показано, что AB + BC > AO + OC.