Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого все стороны равны. Пусть точка P - произвольная точка внутри этого четырехугольника.
Проведем отрезки PA, PB, PC и PD, соединяющие точку P с вершинами четырехугольника.
Так как все стороны четырехугольника равны, то можно сказать, что треугольники PAB, PBC, PCD и PDA равнобедренные.
По неравенству треугольника, длина каждого из отрезков PA, PB, PC и PD будет меньше суммы длин двух других отрезков, соединяющих вершины треугольника.
Таким образом, для каждого треугольника PAB, PBC, PCD и PDA выполняется неравенство:
PA < AB + BP
PB < BC + CP
PC < CD + DP
PD < DA + AP
Суммируя все эти неравенства, получим:
PA + PB + PC + PD < (AB + BP) + (BC + CP) + (CD + DP) + (DA + AP)
Упрощая выражение, получим:
PA + PB + PC + PD < AB + BC + CD + DA + (AP + BP + CP + DP)
Так как все стороны четырехугольника равны, то AB + BC + CD + DA равно периметру четырехугольника.
Также, сумма AP + BP + CP + DP равна двойной площади четырехугольника, поскольку каждая из этих величин представляет собой расстояние от точки P до одной из сторон четырехугольника, умноженное на длину этой стороны.
Таким образом, получаем:
PA + PB + PC + PD < периметр четырехугольника + 2 * площадь четырехугольника
Так как площадь четырехугольника всегда положительна, то сумма расстояний PA + PB + PC + PD всегда меньше периметра четырехугольника.
Таким образом, доказано, что сумма расстояний от произвольной точки внутри четырехугольника до его вершин меньше его периметра.