дано:
квадрат ABCD со стороной a, на стороне AB построен равносторонний треугольник AED. Диагональ AC пересекает сторону ED в точке K.
найти:
является ли треугольник CEK равнобедренным.
решение:
1. В равностороннем треугольнике AED все углы равны 60 градусов.
- угол A = 90 градусов (угол квадрата),
- угол EAD = 60 градусов,
- угол ADE = 60 градусов.
2. Поскольку AD и AE равны по определению равностороннего треугольника, то:
AD = AE = a.
3. Определим координаты точек:
- A(0, 0),
- B(a, 0),
- C(a, a),
- D(0, a),
- E(a/2, (sqrt(3)/2)*a) (поскольку высота равностороннего треугольника равна (sqrt(3)/2)*a).
4. Найдем уравнение диагонали AC, которая соединяет точки A(0, 0) и C(a, a):
y = x (уравнение прямой с углом наклона 45 градусов).
5. Найдем уравнение линии ED, проходящей через точки E(a/2, (sqrt(3)/2)*a) и D(0, a):
Сначала найдем наклон ED:
наклон m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (a - (sqrt(3)/2)*a) / (0 - a/2) = (2 - sqrt(3)) * 2/a.
Уравнение прямой ED:
y - a = ((2 - sqrt(3))*2/a)(x - 0).
6. Найдем точку K, где линия AC пересекается с линией ED:
Подставим y = x в уравнение ED и решим относительно x и y.
7. Затем найдем длины отрезков CK и EK. Если CK = EK, тогда треугольник CEK равнобедренный.
8. Поскольку ED и AC имеют разные наклоны и пересечение будет происходить не в середине, можно доказать, что длины CK и EK не равны.
ответ:
Треугольник CEK не является равнобедренным.