Дано:
- Квадраты ABCD и DEFK имеют общую вершину D.
- Вершина E лежит на стороне AB.
Найти:
Верно ли, что точки B, C и K лежат на одной прямой?
Решение:
1. Построим квадраты ABCD и DEFK.
- В квадрате ABCD, вершины A, B, C и D образуют равные стороны.
- В квадрате DEFK, вершины D, E, F и K также образуют равные стороны.
2. Поскольку DE и AB являются сторонами квадратов, они равны и перпендикулярны друг другу (угол между ними 90°).
3. В треугольнике ADE (в котором AD и DE — стороны квадрата и AE — их диагональ), угол ∠ADE = 90°, и отрезок AE будет диагональю квадрата, проходящей через точки A и E.
4. Поскольку DEFK — это квадрат с вершинами D, E, F и K, отрезки DK и DE перпендикулярны и равны.
5. Поскольку отрезки DE и DK перпендикулярны и равны (как стороны квадрата), треугольник DKE также является прямоугольным треугольником. Следовательно, DE и DK находятся в одной плоскости, образующей прямой угол с плоскостью квадрата ABCD.
6. Поскольку угол между DE и DK равен 90°, отрезок DK будет параллелен отрезку BC квадрата ABCD (в этом случае DE будет параллелен AB, а DK перпендикулярен DE и будет направлен перпендикулярно к стороне AB). Это означает, что если B и C находятся в плоскости квадрата ABCD, то и K будет находиться на одной прямой с B и C.
Ответ:
Да, точки B, C и K лежат на одной прямой.