Дано:
Треугольник ABC, угол A = 2 * угол B. Высота из угла C делит сторону AB на отрезки AD и DB.
Найти: Разность отрезков AD и DB равна одной из сторон треугольника.
Решение:
1. Обозначим угол B как x. Тогда угол A будет равен 2x, а угол C = 180 - 3x (по теореме о сумме углов треугольника).
2. Известно, что высота CD делит сторону AB на отрезки AD и DB. Пусть AD = m, DB = n.
3. По свойству прямоугольного треугольника ACD и BCD, применим правило синусов:
AC / sin(B) = BC / sin(A)
AC / sin(x) = BC / sin(2x)
4. Из формулы синуса двойного аргумента имеем: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x). Подставляем в уравнение:
AC / sin(x) = BC / (2 * sin(x) * cos(x))
5. Упрощаем:
AC = (BC / 2) * cos(x)
6. Теперь применяем теорему Пифагора в треугольниках ADC и BDC:
AD^2 + CD^2 = AC^2
DB^2 + CD^2 = BC^2
7. Подставим выражения для AC и BC:
m^2 + h^2 = ((n/2) * cos(x))^2
n^2 + h^2 = n^2
8. Из первого уравнения выразим h:
h^2 = ((n/2) * cos(x))^2 - m^2
9. Из второго уравнения видно, что n^2 + h^2 = n^2, следовательно:
h^2 = n^2 - m^2
10. Итак, разность отрезков AD и DB равна:
|m - n| = |AC - BC|
Таким образом, разность отрезков равна одной из сторон треугольника, что и требовалось доказать.
Ответ: Разность отрезков AD и DB равна одной из сторон треугольника.