Дано:
Четырехугольник ABCD, где AB = BC = CD = 1. Углы A и C равны 120°.
Найти: Длину стороны AD.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AD как x.
2. Рассмотрим четырехугольник ABCD с известными сторонами и углами. Положение точек можно описать в координатной системе:
- Пусть точка A находится в начале координат A(0, 0).
- Точка B с учетом длины AB = 1 будет находиться в B(1, 0).
- Для точки C, угол CAB равен 120°, тогда координаты C можно вычислить, используя полярные координаты:
C(1 + cos(120°), sin(120°)).
cos(120°) = -1/2, sin(120°) = √3/2.
Поэтому C будет иметь координаты C(1 - 1/2, √3/2) = (1/2, √3/2).
3. Теперь мы знаем координаты точки C. Для точки D есть два возможных способа её расположения, так как у нас уже известна длина CD = 1 и угол DCA будет равен 120°.
4. Рассмотрим угол BCD:
- Угол BCD = 60° (так как сумма углов в треугольнике не превышает 180° и угол ACD = 120°)
- Мы можем найти координаты точки D, используя тригонометрию.
5. Теперь найдём координаты D. Используя свойства треугольника BCD, где BC = 1, мы можем выразить координаты D:
Угол DCA = 120°, следовательно,
D будет находиться на расстоянии 1 от точки C под углом 60° относительно линии CA.
6. Значит, координаты D:
D = C + (cos(60°), sin(60°)) = (1/2, √3/2) + (1/2, √3/2) = (1, √3).
7. Теперь найдём длину стороны AD:
D(1, √3) и A(0, 0), применим теорему Пифагора:
AD = √((1 - 0)^2 + (√3 - 0)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2.
Ответ: Длина стороны AD равна 2.