Дано:
В четырехугольнике ABCD внешний угол при вершине A равен углу BCD. Также AD = CD.
Найти:
Докажите, что BD является биссектрисой угла ABC.
Решение:
1. Обозначим угол при вершине A как угол ∠BAD. Поскольку внешний угол при вершине A равен углу ∠BCD, то угол ∠BAD = угол ∠BCD.
2. Поскольку AD = CD, треугольник ACD равнобедренный. Это значит, что ∠ACD = ∠CAD.
3. Обозначим угол ∠ABC как угол α и угол ∠BCD как угол β. Так как угол ∠BAD равен углу ∠BCD, получаем, что ∠BAD = β.
4. Треугольник ACD равнобедренный, и из этого следует, что углы при основании равны, то есть ∠CAD = ∠ACD.
5. В четырехугольнике ABCD сумма углов равна 360°. То есть:
∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°.
6. Так как ∠BAD = ∠BCD, заменяем ∠BAD на ∠BCD в уравнении:
∠BCD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°,
2∠BCD + ∠ABC + ∠CDA = 360°.
7. Поскольку в треугольнике ACD углы ∠ACD и ∠CAD равны, угол ∠CDA = 180° - ∠ACD - ∠CAD = 180° - 2∠ACD.
8. Подставляем значение ∠CDA в уравнение:
2∠BCD + ∠ABC + (180° - 2∠ACD) = 360°,
2∠BCD + ∠ABC + 180° - 2∠ACD = 360°,
∠ABC = 2∠ACD + 180° - 2∠BCD.
9. Поскольку угол при вершине A равен углу ∠BCD, можно сказать, что ∠ACD = ∠BCD.
10. Таким образом, угол ∠BCD = угол ∠ACD, и это означает, что BD — биссектрису угла ABC, так как BD делит угол ∠ABC на два равных угла.
Ответ:
BD является биссектрисой угла ABC.