Дано: окружность с центром O и диаметром AB. Хорда CD пересекает диаметр AB в точке E.
Найти: показать, что либо хорда CD перпендикулярна диаметру AB, либо хорда CD проходит через центр окружности.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Хорда CD делится пополам диаметром AB в точке E.
2. Построим треугольники OCE и ODE, где O — центр окружности, E — точка пересечения хорды CD и диаметра AB.
3. В треугольнике OCE и ODE радиус окружности является гипотенузой, и точка E является серединой отрезка CD, что означает, что отрезок OE является перпендикуляром к CD, если CD не проходит через центр.
4. Для треугольников OCE и ODE верно, что OE перпендикулярен CD. Это следует из свойства окружности: если радиус перпендикулярен хорде, то хорда делится пополам. Таким образом, если OE не равен нулю, то хорда CD будет перпендикулярна диаметру AB.
5. Если хорда CD проходит через центр O, то расстояние от центра до хорды будет равно нулю. Это означает, что хорда CD является диаметром окружности и проходит через центр.
6. Существует два случая:
- Если CD перпендикулярна AB в точке E, то CD пересекает AB под прямым углом в точке E.
- Если CD проходит через центр O, то CD является диаметром окружности.
Ответ: Хорда CD либо перпендикулярна диаметру AB в точке его пересечения, либо сама является диаметром окружности и проходит через центр O.