Дано: окружность с центром O и радиусом R. Хорда AB проходит через точку M, которая является серединой хорды AB. Диаметр CD проходит через центр O.
Найти: доказать, что хорда AB либо перпендикулярна диаметру CD, либо является диаметром.
Решение:
1. По определению, точка M является серединой хорды AB, то есть AM = MB.
2. Проведем радиус OM из центра O к точке M, которая делит хорд AB пополам. Так как M - середина, то AM = MB.
3. Рассмотрим треугольники OMA и OMB. Эти треугольники равны по двум катетам:
- OM - общий катет,
- AM = MB - равны, так как M - середина.
4. Следовательно, по признаку равенства треугольников, угол OMA равен углу OMB.
5. Если угол OMA равен 90 градусов, то AB перпендикулярна CD. Это означает, что хорда AB перпендикулярна диаметру CD.
6. Если угол OMA меньше 90 градусов, то угол OMA не может равняться углу OMB, поскольку они равны. В этом случае, значит, угол OMA должен равняться 0 градусов, что означает, что AB совпадает с диаметром CD.
7. Таким образом, либо угол OMA равен 90 градусов, что означает, что AB перпендикулярна CD, либо угол OMA равен 0 градусов, что означает, что AB является диаметром.
Ответ: хорда AB либо перпендикулярна диаметру CD, либо является диаметром.