Дано:
1. Окружность с центром O и радиусом R.
2. Хорда AB длиной L, которая делится на две равные части точкой M (AM = MB).
3. Диаметр CD, проходящий через точку M.
Найти:
Показать, что если диаметр делит хорду пополам, то он либо перпендикулярен ей, либо хорда сама является диаметром.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности как R. Поскольку M - середина хорды AB, то AM = MB = L/2.
2. Рассмотрим треугольники OMA и OMB, где O - центр окружности, M - середина хорды, A и B - концы хорды.
3. По свойству окружности: отрезок OM является перпендикуляром к хорде AB в точке M, если M не лежит на диаметре.
4. Используем теорему Пифагора для треугольника OMA:
OA^2 = OM^2 + AM^2
R^2 = OM^2 + (L/2)^2
5. Теперь рассмотрим случай, когда M лежит на диаметре CD:
Если M - точка, лежащая на диаметре, то AO и BO образуют прямые углы с диаметром CD.
6. В этом случае также выполняется условие:
OA^2 = OM^2 + AM^2
Но так как OM = 0 (поскольку M на диаметре), имеем:
R^2 = 0 + (L/2)^2, что указывает на то, что AB является диаметром.
7. Следовательно, если M не лежит на диаметре, то OM > 0 и CD будет перпендикулярен AB.
Ответ:
Если диаметр окружности делит хорду пополам, то он либо перпендикулярен ей, либо хорда сама является диаметром.