Дано: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Гипотенуза AB, медиана CM, проведенная из угла C к гипотенузе AB, точка M — середина гипотенузы AB.
Найти: длину медианы CM и показать, что она равна половине гипотенузы AB.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство это можно провести с помощью теоремы Пифагора и свойства треугольников.
2. Пусть AB — гипотенуза, и её длина равна c. Пусть AC и BC — катеты, их длины равны a и b соответственно. По теореме Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2
3. Отметим, что M — середина гипотенузы AB. Следовательно, AM = MB = c / 2.
4. В прямоугольном треугольнике ACM и BCM, отрезок CM является медианой. Эти треугольники являются прямоугольными, и медиана CM к гипотенузе в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.
5. Используем теорему о медиане. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Следовательно, CM = c / 2.
Ответ: Медиана CM равна половине гипотенузы AB.