Дано: четырехугольник ABCD, в котором два противоположных угла прямые, то есть угол A и угол C равны 90 градусов.
Найти: доказать, что все вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то есть четырехугольник является вписанным в окружность.
Решение:
1. Обозначим углы четырехугольника ABCD как ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. По условию, ∠A = 90 градусов и ∠C = 90 градусов.
2. В четырехугольнике сумма внутренних углов равна 360 градусов. Значит, сумма оставшихся двух углов равна 360 - (∠A + ∠C) = 360 - (90 + 90) = 180 градусов. То есть, ∠B + ∠D = 180 градусов.
3. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов, это условие является признаком того, что все его вершины лежат на одной окружности. Это свойство вписанных четырехугольников.
4. Для подтверждения, рассмотрим вписанный четырехугольник. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов всегда равна 180 градусов. Мы доказали, что в данном четырехугольнике это условие выполняется.
Ответ: Все вершины четырехугольника ABCD лежат на одной окружности, и четырехугольник является вписанным в окружность.