Дано: окружность, хорда AB, точка M на окружности.
Найти: хорду CD, проходящую через точку M и делящую хорду AB пополам.
Решение:
1. Найдем центр окружности O и радиус R.
2. Найдем координаты точек A, B и M.
3. Найдем векторы AB и OM.
AB = B - A
OM = M - O
4. Найдем проекцию вектора AB на вектор OM.
p = (AB * OM) / |OM|
где * обозначает скалярное произведение векторов, а |OM| - длина вектора OM.
5. Найдем вектор CD, который перпендикулярен вектору OM и проходит через точку M.
CD = 2p - AB
6. Найдем координаты точек C и D.
C = M + CD / 2
D = M - CD / 2
Ответ: координаты точек C и D равны (Cx, Cy) и (Dx, Dy) соответственно.
Если точка M лежит на середине хорды AB, то вектор OM перпендикулярен вектору AB и проекция p равна нулю, то есть хорда CD проходит через точку M и является единственной. Если точка M не лежит на середине хорды AB, то вектор OM не перпендикулярен вектору AB и проекция p не равна нулю, то есть хорда CD проходит через точку M и делит хорду AB на две части, при этом существует два возможных положения хорды CD.