дано:
Пусть A(x1, y1) и B(x2, y2) - две точки на плоскости. Проведем осевую симметрию относительно прямой l.
найти:
Докажите, что осевая симметрия сохраняет расстояния между точками на плоскости.
решение:
1. Рассмотрим прямую l как ось симметрии. Пусть точка A имеет координаты (x1, y1), а точка B имеет координаты (x2, y2).
2. Для нахождения симметричных точек A' и B' относительно оси l, необходимо провести перпендикуляры от точек A и B к прямой l и обозначить их как A'' и B''.
3. Пусть длина отрезка AA'' равна dA, а длина отрезка BB'' равна dB. Тогда симметричные точки будут находиться на одинаковом расстоянии от прямой l:
A' будет находиться на расстоянии dA от l в сторону, противоположную A'', B' будет находиться на расстоянии dB от l в ту же сторону, что и B''.
4. Таким образом, координаты симметричных точек будут:
A'(x1', y1') и B'(x2', y2'), где:
x1' = x1 + 2 * dx_A (здесь dx_A - расстояние от A до l по горизонтали),
y1' = y1 + 2 * dy_A (здесь dy_A - расстояние от A до l по вертикали),
x2' = x2 + 2 * dx_B,
y2' = y2 + 2 * dy_B.
5. Рассмотрим расстояние между точками A и B:
d(A, B) = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
6. Теперь найдем расстояние между симметричными точками A' и B':
d(A', B') = sqrt((x2' - x1')^2 + (y2' - y1')^2).
7. Подставляя значения для x1', y1', x2', y2', получаем:
d(A', B') = sqrt(((x2 + 2 * dx_B) - (x1 + 2 * dx_A))^2 + ((y2 + 2 * dy_B) - (y1 + 2 * dy_A))^2).
8. Упрощая выражение, мы увидим, что добавленные члены (связанные с перпендикулярами) не изменяют общее значение расстояния, так как они равны и имеют противоположные знаки.
ответ:
Таким образом, доказано, что осевая симметрия сохраняет расстояния между точками на плоскости.