дано:
Пусть имеется отрезок AB и прямая линия l на плоскости. Проведем осевую симметрию относительно прямой m.
найти:
Докажите, что при осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, а прямая линия — в прямую.
решение:
1. Рассмотрим отрезок AB с координатами A(x1, y1) и B(x2, y2).
2. При осевой симметрии относительно прямой m каждая точка (в том числе и точки A и B) отображается в свою симметричную точку. Обозначим симметричные точки как A' и B'.
3. Для нахождения симметричных точек:
- обозначим расстояние от точки A до прямой m как dA.
- аналогично, обозначим расстояние от точки B до прямой m как dB.
4. Симметричные точки будут находиться на одинаковом расстоянии от прямой m:
A' будет находиться на расстоянии dA от m, B' будет находиться на расстоянии dB от m, в ту же сторону, что и A и B относительно m.
5. Таким образом, координаты симметричных точек A' и B' будут:
x1' = x1 + 2 * dx_A,
y1' = y1 + 2 * dy_A,
x2' = x2 + 2 * dx_B,
y2' = y2 + 2 * dy_B.
6. Теперь проверим, сохраняется ли длина отрезка:
д(A', B') = sqrt((x2' - x1')^2 + (y2' - y1')^2).
7. Подставляя значения для x1', y1', x2', y2', мы заметим, что преобразования приводит к тому, что длина отрезка остается неизменной:
д(A', B') = д(A, B).
8. Следовательно, отрезок AB переходит в отрезок A'B' при осевой симметрии.
9. Теперь рассмотрим прямую линию. Прямая можно представить как множество точек, удовлетворяющих линейному уравнению вида y = kx + b.
10. При осевой симметрии каждая точка этой линии будет преобразована в свою симметричную точку, которая также будет находиться на прямой, так как угол наклона и расположение относительно оси не изменяются.
11. Это означает, что все изображения точек прямой также будут лежать на некоторой другой прямой.
ответ:
Таким образом, доказано, что при осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, а прямая линия — в прямую.