Дано:
Пусть ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с углом C равным 90°. Обозначим длины сторон:
- AB — гипотенуза,
- BC — катет,
- AC — катет.
На гипотенузе AB выбрана точка M, а на катете BC — точка K.
Найти:
Показать, что AK + KM > AB.
Решение:
1. Обозначим длины сторон равнобедренного треугольника:
AC = BC = a, AB = c.
2. По неравенству треугольника для треугольника AKM имеем:
AK + KM > AM.
3. По аналогии, для треугольника BKC:
BK + KC > BC.
4. Заметим, что точки M и K лежат на отрезках AB и BC, соответственно. То есть, AM + MB = AB и BK + KC = BC.
5. Поскольку M на гипотенузе, а K на катете, можно утверждать, что:
AM < AB и BK < BC.
6. Объединив неравенства, получаем:
AK + KM > AM > AB.
7. Таким образом, AK + KM всегда будет больше длины гипотенузы AB.
Ответ:
AK + KM > AB, так как по неравенству треугольника сумма сторон треугольника всегда больше любой из сторон.