Дано:
Пусть F1 и F2 — фокусы эллипса, а сумма расстояний от любой точки P на эллипсе до фокусов F1 и F2 равна постоянной величине 2a, где a — большая полуось эллипса. Эллипс можно описать уравнением в декартовой системе координат:
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1, где b — малая полуось.
Найти:
Показать, что эллипс имеет две оси симметрии, которые перпендикулярны друг другу.
Решение:
1. Рассмотрим ось симметрии, проходящую через фокусы F1 и F2. Эта ось является главной осью эллипса, поскольку фокусы расположены на ней.
2. Если точка P(x, y) лежит на эллипсе, то ее отражение P'(x, -y) также будет лежать на эллипсе. Это происходит потому, что сумма расстояний от P до фокусов F1 и F2 равна 2a, и для отраженной точки P' эта сумма также останется равной 2a.
3. Следовательно, эллипс симметричен относительно оси, проходящей через фокусы F1 и F2.
4. Теперь рассмотрим вторую ось симметрии, проходящую через точки A(0, b) и A'(0, -b), где A и A' — точки на малой оси эллипса.
5. Для точки P(x, y) на эллипсе, ее отражение P''(-x, y) также будет находиться на эллипсе, так как расстояния от P до фокусов F1 и F2 остаются неизменными.
6. Таким образом, эллипс симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через центр эллипса.
7. Обе оси симметрии (горизонтальная и вертикальная) пересекаются в центре эллипса и перпендикулярны друг другу.
Ответ:
Эллипс имеет две оси симметрии, которые перпендикулярны друг другу: одну через фокусы и другую через вершины малой оси.