Дано: Два параллелограмма, у которых совпадает пара противоположных вершин.
Найти: Докажите, что остальные четыре вершины образуют новый параллелограмм.
Решение:
1. Обозначим первый параллелограмм как ABCD, где A и C - совпадающие вершины. Второй параллелограмм обозначим как A'B'C'D', где A и C - также совпадающие вершины.
2. Пусть B и D - другие вершины первого параллелограмма, а B' и D' - другие вершины второго параллелограмма.
3. Параллелограммы ABCD и A'B'C'D' имеют следующие свойства:
- Параллелограмм имеет противоположные стороны равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
4. В параллелограмме ABCD:
- AB // CD и AD // BC
- Параллелограмм A'B'C'D':
- A'B' // C'D' и A'D' // B'C'
5. Проверим, что фигура, образованная вершинами B, C, B' и C', является параллелограммом:
- Векторная форма для параллелограмма ABCD:
- AB = CD и AD = BC
- Векторная форма для параллелограмма A'B'C'D':
- A'B' = C'D' и A'D' = B'C'
6. Чтобы показать, что фигура B, C, B', C' является параллелограммом, нужно доказать, что противоположные стороны параллельны и равны:
- Векторы для сторон B, C, B', C':
- BC = B'C'
- BB' = CC'
7. Мы можем использовать теорему о параллелограммах и свойства их векторов:
- BC и B'C' параллельны и равны (поскольку BC и B'C' - это стороны двух исходных параллелограммов)
- BB' и CC' параллельны и равны (аналогично)
8. Таким образом, фигура B, C, B', C' имеет все свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны.
Ответ: Остальные четыре вершины образуют новый параллелограмм.