Дано:
Треугольник ABC. Отрезок PQ, где P лежит на стороне AB, а Q — на стороне AC, параллелен стороне BC и равен её половине.
Найти:
Докажите, что отрезок PQ является средней линией треугольника ABC.
Решение:
1. Пусть отрезок PQ параллелен стороне BC и равен половине её длины. То есть PQ || BC и PQ = 1/2 * BC.
2. Мы должны доказать, что PQ — средняя линия треугольника ABC. По определению, средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.
3. Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим M и N середины отрезков AB и AC соответственно. По определению средней линии, отрезок MN будет параллелен стороне BC и равен её половине.
4. Сначала докажем, что отрезок PQ, имеющий свойства PQ || BC и PQ = 1/2 * BC, должен быть средней линией.
5. Пусть PQ || BC. Это означает, что углы между PQ и AB, и между PQ и AC, равны углам между BC и AB, и BC и AC соответственно. То есть угол PQA равен углу BCA, и угол QPA равен углу CBA.
6. Поскольку PQ = 1/2 * BC, по свойству подобных треугольников отрезок PQ будет средним по отношению к сторонам треугольника ABC.
7. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, параллельный одной из сторон треугольника и равный половине длины этой стороны, должен соединять середины двух других сторон треугольника.
8. Таким образом, PQ, являясь параллельным и равным половине BC, соединяет середины двух сторон треугольника (AB и AC) и по определению является средней линией.
Ответ:
Отрезок PQ является средней линией треугольника ABC, так как он параллелен стороне BC и равен её половине.