Дано: четырехугольник ABCD с равными диагоналями AC и BD. Пусть M, N, O и P - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Найти: докажите, что средние линии четырехугольника ABCD перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим середины сторон:
M = (A + B) / 2
N = (B + C) / 2
O = (C + D) / 2
P = (D + A) / 2
2. Найдем вектор MN:
MN = N - M
= [(B + C) / 2] - [(A + B) / 2]
= (B + C - A - B) / 2
= (C - A) / 2
3. Найдем вектор OP:
OP = P - O
= [(D + A) / 2] - [(C + D) / 2]
= (D + A - C - D) / 2
= (A - C) / 2
4. Найдем скалярное произведение MN и OP:
MN · OP = [(C - A) / 2] · [(A - C) / 2]
= (C - A) · (A - C) / 4
= (A - C)² / 4
Поскольку (A - C)² ≥ 0, скалярное произведение MN и OP всегда равно нулю.
5. Это означает, что MN и OP перпендикулярны.
Ответ: Средние линии четырехугольника ABCD перпендикулярны.