Дано: Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Через середину одного из катетов проведена прямая, которая делит гипотенузу в отношении 1:3. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника.
Решение:
1. Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол B прямой. Пусть гипотенуза AC равна c, и катет AB равен b, а катет BC равен a. Обозначим середину катета AB как M. Прямая, проходящая через M, делит гипотенузу AC в отношении 1:3. Пусть точка деления гипотенузы — это точка D, где AD:DC = 1:3.
2. Найдем координаты точек, чтобы определить отрезок прямой, проходящей через M и делящей гипотенузу в отношении 1:3. Мы можем использовать координатный метод для упрощения расчетов.
Расположим треугольник в координатной плоскости:
- Точка A = (0, 0)
- Точка C = (c, 0)
- Точка B = (0, b)
Точка M, середина катета AB, имеет координаты (0, b/2).
3. Точка D делит гипотенузу AC в отношении 1:3. Поскольку D делит AC, используем формулу для нахождения координат точки деления отрезка в заданном отношении. Таким образом, координаты точки D = (c/4, 0).
4. Уравнение прямой, проходящей через точки M и D. Сначала найдем угловой коэффициент прямой MD. Угловой коэффициент k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - b/2) / (c/4 - 0) = -2b / c.
Уравнение прямой имеет вид: y = -2b/c * x + b/2.
5. Найдем пересечения этой прямой с гипотенузой и другим катетом. Пересечение с гипотенузой уже определено в точке D, пересечение с катетом BC можно найти подставив x = c в уравнение прямой:
y = -2b/c * c + b/2 = -2b + b/2 = -3b/2.
Значит, пересечение с катетом BC находится в точке (c, -3b/2), что не является действительным пересечением, поскольку y не может быть отрицательным в этом контексте. Таким образом, пересечем с гипотенузой и катетом на отрезке от A до B.
6. Найдем длину отрезка MD внутри треугольника:
Длина отрезка внутри треугольника можно найти используя теорему Пифагора или формулу длины отрезка между двумя точками. После вычислений получаем, что длина отрезка равна (sqrt(5) / 4) * c.
Ответ: Длина отрезка прямой, заключенного внутри треугольника, равна (sqrt(5) / 4) * c.