Дано:
Пусть ABCD — четырехугольник, где стороны AB и CD не имеют общих точек. Обозначим середину сторон AB и CD как M и N соответственно. Средняя линия MN равна полусумме сторон AB и CD.
Найти:
Показать, что четырехугольник ABCD является трапецией или параллелограммом.
Решение:
1. Запишем условие: длина средней линии MN равна полусумме сторон AB и CD:
MN = (AB + CD) / 2.
2. По определению, если MN является средней линией, то она соединяет середины двух сторон четырехугольника.
3. Рассмотрим случай, когда ABCD является трапецией. В этом случае одна из пар противоположных сторон (например, AB и CD) параллельны.
4. Если стороны AB и CD параллельны, то средняя линия MN между ними будет равна полусумме их длин:
MN = (AB + CD) / 2.
5. Теперь рассмотрим случай, когда ABCD — параллелограмм. В этом случае стороны AB и CD также параллельны и равны, как и стороны AD и BC.
6. Если ABCD параллелограмм, то:
AB = CD и AD = BC.
7. Таким образом, средняя линия MN также будет равна полусумме двух равных сторон:
MN = AB = CD.
8. В обоих случаях (трапеция или параллелограмм) условие, что MN равно полусумме сторон, выполняется.
Ответ:
Четырехугольник ABCD является трапецией или параллелограммом, так как средняя линия MN равна полусумме сторон AB и CD, что подтверждает их параллельность.