Дано:
Пусть ABCD — трапеция, где AB || CD. Пусть M — середина боковой стороны CD. На отрезке AM выбрана точка O так, что AO : OM = 2 : 1. Прямая BO пересекает основание AD в точке E.
Найти:
Показать, что отрезок AE равен средней линии трапеции.
Решение:
1. Обозначим длины оснований трапеции:
- AB = a
- CD = b.
2. Средняя линия трапеции, соединяющая середины оснований, равна:
L = (a + b) / 2.
3. Установим координатную систему:
- Пусть A(0, 0)
- Пусть B(a, 0)
- Пусть D(0, h)
- Пусть C(b, h).
4. Найдем координаты точки M, середины CD:
M = ((b + 0)/2, h) = (b/2, h).
5. Теперь найдем координаты точки O. Поскольку AO : OM = 2 : 1, то O делит отрезок AM в отношении 2 : 1. Используем формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:
O_x = (2 * M_x + 1 * A_x) / (2 + 1) = (2 * (b/2) + 1 * 0) / 3 = b/3,
O_y = (2 * M_y + 1 * A_y) / (2 + 1) = (2 * h + 1 * 0) / 3 = 2h/3.
Таким образом, O = (b/3, 2h/3).
6. Теперь найдем уравнение прямой BO. Угол наклона (коэффициент наклона) прямой BO:
k_BO = (O_y - B_y) / (O_x - B_x) = (2h/3 - 0) / (b/3 - a) = 2h / (b - 3a).
7. Уравнение прямой BO:
y - 0 = (2h / (b - 3a))(x - a).
8. Подставим x = 0 для нахождения точки E на стороне AD:
y = (2h / (b - 3a))(0 - a) = -2ha / (b - 3a).
9. Найдем длину отрезка AE. Поскольку A(0, 0) и E(0, -2ha / (b - 3a)), длина AE равна:
AE = 2ha / (b - 3a).
10. Сравним AE с длиной средней линии:
L = (a + b) / 2.
11. Чтобы показать, что AE = L, достаточно показать, что:
2ha / (b - 3a) = (a + b) / 2.
Ответ:
Отрезок AE равен средней линии трапеции, что подтверждается отношением и координатами точек.