Дано:
Пусть ABC — прямоугольный треугольник, где угол A равен 30°, угол B равен 90°, угол C равен 60°. Обозначим длину гипотенузы AC как c, катет AB (противоположный углу 30°) как a, и катет BC (противоположный углу 60°) как b.
Найти:
В каком отношении высота, опущенная из точки B на гипотенузу AC, делит эту гипотенузу.
Решение:
1. В треугольнике ABC по свойствам углов и сторон знаем, что:
- a = (1/2) * c (катет против угла 30°).
- b = (√3 / 2) * c (катет против угла 60°).
2. Теперь найдем длину высоты BH, опущенной из точки B на гипотенузу AC. Высота в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:
BH = (AB * BC) / AC.
3. Подставим известные значения:
BH = (a * b) / c.
4. Подставим значения a и b:
BH = ((1/2) * c * (√3 / 2) * c) / c.
5. Упрощаем:
BH = (√3 / 4) * c.
6. Теперь найдем точки пересечения высоты BH с гипотенузой AC. Обозначим точки пересечения как D и E, где D — это точка, где BH пересекает AC.
7. Используем теорему о высотах в треугольнике. Высота делит гипотенузу на два отрезка, которые имеют отношение, равное квадратам прилежащих катетов:
AD / DC = AB² / BC².
8. Подставим значения:
AD / DC = ((1/2) * c)² / ((√3 / 2) * c)².
AD / DC = (1/4) / (3/4) = 1 / 3.
Ответ:
Высота, опущенная из точки B на гипотенузу AC, делит ее в отношении 1:3.