Дано: В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD. Обозначим точки пересечения хорд как P и Q соответственно.
Найти: Доказать, что расстояние между серединами хорд AB и CD равно расстоянию от центра окружности до точки их пересечения.
Решение:
1. Обозначим середины хорд AB и CD как M и N соответственно. Центр окружности обозначим как O.
2. Пусть пересекаются хорды AB и CD в точке P. Перпендикуляры из центра окружности O к хорам AB и CD будут равны радиусам окружности, отрезанным от середины хорд.
3. Так как хорды AB и CD перпендикулярны, и они пересекаются в точке P, то средние линии OM и ON будут перпендикулярны отрезкам хордам AB и CD.
4. Давайте рассмотрим треугольники OMP и ONP. Поскольку OM и ON перпендикулярны хорам AB и CD, и OM и ON оба идут к центру окружности O, треугольники OMP и ONP являются прямоугольными.
5. Так как хорды AB и CD перпендикулярны друг другу, расстояние между их серединами MN можно рассматривать как расстояние между двумя параллельными прямыми, проходящими через середины хорд.
6. Так как перпендикуляры к хорам из центра окружности будут равны, расстояние MN между серединами будет равно расстоянию между параллельными прямыми, проходящими через середины перпендикуляров.
7. Таким образом, из геометрии видно, что расстояние между серединами хорд AB и CD равно расстоянию от центра окружности до точки их пересечения P.
Ответ: Расстояние между серединами хорд AB и CD равно расстоянию от центра окружности до точки их пересечения.