Дано:
- Два квадрата со смежными углами.
- Диагонали квадратов пересекаются в точке O.
Найти:
- Докажите, что O — середина отрезка AB.
Решение:
1. Пусть квадраты имеют стороны a и b соответственно. Пусть диагонали первого квадрата пересекаются в точке M, а диагонали второго — в точке N.
2. В каждом квадрате диагонали пересекаются в серединах квадратов, так как диагонали равны и перпендикулярны. Поэтому точка пересечения диагоналей каждого квадрата делится на два равных отрезка.
3. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Точки пересечения диагоналей каждого квадрата являются центрами квадратов.
4. Учитывая, что O — это точка пересечения диагоналей квадратов, каждый квадрат по свойству равнобедренных треугольников, образованных диагоналями, делит диагонали на равные части.
5. Поскольку диагонали пересекаются в серединах отрезков, точка O, будучи пересечением диагоналей, делит отрезок AB на равные части.
Ответ:
Точка O является серединой отрезка AB.