Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в C.
- Окружность проходит через середину гипотенузы AB и середину катета AC и пересекает другой катет BC в двух точках.
- Первая точка пересечения делит катет BC в отношении 1:4.
Найти:
- Отношение, в котором вторая точка пересекает катет BC.
Решение:
1. Обозначим точки:
- M – середина гипотенузы AB,
- N – середина катета AC,
- P – первая точка пересечения окружности с катетом BC, делящая его в отношении 1:4,
- Q – вторая точка пересечения окружности с катетом BC.
2. Окружность проходит через M и N. Эта окружность также проходит через точки P и Q на BC.
3. По теореме Птолемея для вписанных четырёхугольников, если окружность проходит через точки M, N, P и Q, то выполняется следующее соотношение:
- (MP * NQ) + (NP * MQ) = (MN * PQ).
4. Учитывая, что P делит BC в отношении 1:4, можно обозначить длину отрезка BP как x, тогда PC = 4x.
5. Поскольку точка P делит BC в отношении 1:4, мы можем использовать подобие треугольников для нахождения позиции точки Q.
6. В силу подобия треугольников и свойств окружности (свойства секущих и касательных) отношение деления в точке Q будет обратным к отношению деления в точке P. То есть, если P делит BC в отношении 1:4, то Q делит его в отношении 4:1.
Ответ:
Вторая точка делит катет BC в отношении 4:1.