Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка M на продолжении AC так, что угол CMB = 30°.
- O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM соответственно.
Найти:
- Доказать, что O1O2 = AC.
Решение:
1. Заметим, что O1 и O2 являются центрами описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Радиусы описанных окружностей равны расстоянию от этих центров до вершин треугольников.
2. Проведем рассмотрение треугольников ABM и CBM. Поскольку угол CMB равен 30°, то угол AOB (где O — центр окружности, описанной вокруг треугольника ABM) и угол COB (где O — центр окружности, описанной вокруг треугольника CBM) равны 60° (так как сумма углов треугольника 180°, а угол между радиусами, проведенными к точкам касания одной окружности, равен двойному углу между касательными прямыми).
3. Поэтому угол между линией, соединяющей центры описанных окружностей O1 и O2, и прямой AC равен 30°. Это означает, что O1O2 перпендикулярен AC и равен длине AC.
4. В этом случае треугольник O1O2M является равнобедренным, и O1O2 = AC.
Ответ:
O1O2 = AC.