Дано:
- В окружность вписан квадрат ABCD.
- Через середины сторон ВС и CD проведена хорда КЕ.
Найти:
- Докажите, что треугольник АКЕ является равносторонним.
Решение:
1. Обозначим середины сторон ВС и CD как точки M и N соответственно. Таким образом, M и N являются центрами отрезков ВС и CD, и КЕ - хорда, соединяющая эти точки.
2. Так как ABCD - квадрат, его диагонали пересекаются под прямым углом и являются равными. Из этого следует, что радиус окружности равен половине диагонали квадрата.
3. Рассмотрим треугольник АОК, где О - центр окружности. Радиус окружности равен длине отрезка ОА, и так как АО = ОК = ОЕ, мы имеем, что все радиусы равны. Поэтому треугольники АОК и ОЕ равносторонние.
4. Хорда КЕ пересекает квадрат в серединах его сторон, что указывает на то, что она параллельна диагоналям квадрата и делит его на равные части. Следовательно, отрезок КЕ равен отрезку АЕ и АК. Это делает треугольник АКЕ равносторонним.
Ответ:
Треугольник АКЕ является равносторонним.