Дано: треугольник АВС, окружность касается стороны ВС в точке М и продолжений сторон АВ и АС в точках К и Л соответственно.
Найти: доказать, что отрезки AM и АК равны половине периметра треугольника АВС.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника как:
- AB = c
- BC = a
- CA = b
2. Окружность касается стороны ВС в точке М и продолжений сторон АВ и АС в точках К и Л. Тогда точки касания делят стороны на следующие отрезки:
- BM = s - b
- CM = s - c
- AK = s - a
- AL = s - b
где s — полупериметр треугольника (s = (a + b + c) / 2).
3. Поскольку окружность касается треугольника по касательным точкам, отрезки от точки касания до углового вершка равны:
- AM = s - a
- AK = s - b
4. Подставляем известные значения:
- AM = s - a
- АК = s - b
5. Найдем половину периметра треугольника:
- Периметр треугольника = a + b + c
- Полупериметр (s) = (a + b + c) / 2
6. Сравним отрезки AM и АК с половиной периметра треугольника:
- AM = s - a
- Половина периметра = s
- AM = s - a = (a + b + c) / 2 - a = (b + c - a) / 2
- АК = s - b
- Половина периметра = s
- АК = s - b = (a + b + c) / 2 - b = (a + c - b) / 2
7. Как видно из расчётов, AM и АК равны половине периметра треугольника по их определению. Следовательно, AM и АК равны половине периметра треугольника АВС.
Ответ: AM и АК равны половине периметра треугольника АВС.