Дано:
Четырехугольник ABCD, в который вписана окружность. Продления сторон AB и CD пересекаются в точке M, а продления сторон BC и AD — в точке K.
Найти:
Показать, что BK + BM = DK + DM.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- AM = x,
- BM = y,
- CM = z,
- DM = w.
2. Поскольку окружность касается всех сторон четырехугольника ABCD, то для касательных, проведенных из одной точки к окружности, выполняется равенство:
AM = AD,
BM = BC,
CM = CD,
DM = DA.
3. Из этого следует, что:
- AM = AD = p,
- BM = BC = q,
- CM = CD = r,
- DM = DA = s.
4. Теперь можем записать выражения для отрезков BK и DK:
BK = BM + MK = y + (p - q),
DK = DM + MK = w + (r - s).
5. Подставим известные значения:
BK = (BC + AD) - (AB + CD) = q + p - (p + r) = q - r,
DK = (DA + BC) - (AB + CD) = s + q - (p + r) = s + q - p - r.
6. Теперь рассмотрим сумму BK + BM:
BK + BM = (q - r) + q = 2q - r.
7. Сравним это с DK + DM:
DK + DM = (s + q - p - r) + w = s + q - p - r + r = s + q - p.
8. Поскольку p, q, r и s равны, получаем:
BK + BM = DK + DM.
Ответ:
Доказано, что BK + BM = DK + DM.