Дано:
Две окружности с радиусами r1 и r2 и центрами O1 и O2 соответственно.
Найти:
Показать, что в точке касания две окружности имеют общую касательную прямую, а расстояние между центрами окружностей равно сумме или разности их радиусов.
Решение:
1. Рассмотрим два случая: когда окружности касаются внешне и когда касаются внутренне.
2. Внешнее касание:
- Если окружности касаются внешне, то расстояние между их центрами O1 и O2 равно сумме радиусов:
d = r1 + r2.
- В точке касания P проведем общую касательную к окружностям. Угол между радиусом O1P и касательной равен 90°, аналогично для O2P. Это значит, что отрезки O1P и O2P перпендикулярны к касательной.
3. Внутреннее касание:
- Если окружности касаются внутренне, то расстояние между их центрами O1 и O2 равно разности радиусов:
d = |r1 - r2|.
- В точке касания P также проведем общую касательную к окружностям. Как и в случае внешнего касания, угол между радиусом O1P и касательной равен 90°, аналогично для O2P.
4. В обоих случаях, в точке касания P существует общая касательная прямая, которая касается обеих окружностей.
5. Учитывая, что в точке касания общая касательная перпендикулярна радиусам, можно заключить, что расстояние между центрами окружностей отвечает условиям задачи.
Ответ:
В точке касания две окружности имеют общую касательную прямую, а расстояние между центрами окружностей равно сумме или разности их радиусов.