Рассмотрим треугольник ABC и его описанную окружность с центром O и радиусом R. Пусть H1 и H2 - основания высот, проведенных из вершин A и B соответственно. Пусть M - середина стороны AB.
Так как AM = MB, то точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Также, так как H1 и H2 являются основаниями высот, то они лежат на сторонах BC и AC соответственно, и, следовательно, лежат на описанной окружности.
Так как AH1 и BH2 являются высотами, то они перпендикулярны соответствующим сторонам.
Таким образом, мы имеем следующую картину:
1. Отрезок H1H2 параллелен отрезку AB, так как H1 и H2 лежат на соответствующих сторонах треугольника и соединены перпендикулярами.
2. Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
3. Отрезок OM является радиусом описанной окружности и, следовательно, перпендикулярен отрезку AB.
4. Так как H1, H2 и O лежат на одной прямой, то отрезок H1H2 пересекает отрезок OM в его середине.
Таким образом, отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, параллелен касательной к его описанной окружности, проведенной в вершине треугольника.