дано:
- точка M и касательные MA и MB к окружности.
- другая окружность, проходящая через точки M и A и касающаяся прямой AB.
- точка E — точка пересечения данных окружностей, отличная от A.
найти:
доказать, что прямая BE делит отрезок AM пополам.
решение:
1. Обозначим радиус касательной MA как r. Поскольку MA — касательная к окружности, то угол AMB равен 90°.
2. Окружность, проходящая через точки M и A и касающаяся прямой AB, имеет точку касания в точке A. Это означает, что радиус, проведенный в точку A, также перпендикулярен линии AB.
3. Рассмотрим треугольник ABE. Углы AME и ABE равны, так как MA и AE являются радиусами окружности.
4. Так как MA и AE являются касательными, то по свойству касательных к окружности:
MA = AM.
5. В треугольнике ABE, поскольку углы AME и ABE равны, отрезок BE будет делить отрезок AM пополам. Это следует из того, что треугольники AME и ABE подобны.
6. Таким образом, BE пересекает отрезок AM в его середине.
ответ:
прямая BE делит отрезок AM пополам.