дано:
- треугольник ABC.
- медиана BM.
- точка O на медиане такова, что ∠AOC + ∠ABC = 180°.
найти:
доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CBO, касаются прямой AC.
решение:
1. Угол ∠AOC + ∠ABC = 180° указывает на то, что точки A, O и C лежат на одной окружности, так как сумма углов при одной и той же стороне равна 180°.
2. Обозначим угол ∠AOB как α и угол ∠COB как β. Тогда:
∠AOB + ∠ABC + ∠COB = 180°.
3. Из условия задачи следует, что угол ∠AOB = ∠ABC + ∠COB.
4. По свойству окружностей, если две окружности касаются прямой, то угол между радиусом, проведенным в точку касания, и касательной равен углу, образованному секущей. В нашем случае, радиусы, проведенные из точек A и C к точкам касания, будут перпендикулярны прямой AC.
5. Следовательно, угол ∠AOB и угол ∠COB равны углам, образованным касательными к окружностям, описанным вокруг треугольников ABO и CBO соответственно.
6. Таким образом, окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CBO, касаются прямой AC.
ответ:
окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CBO, касаются прямой AC.