дано:
- отрезок AB является диаметром окружности и пересекает её хорду CD.
- другая окружность с центром в точке A касается хорды CD.
- к этой окружности из точек C и D проведены касательные.
найти:
доказать, что касательные из точек C и D пересекаются на прямой AB.
решение:
1. Поскольку AB является диаметром окружности, то по свойству окружности угол, образованный касательной и радиусом в точке касания, равен 90°.
2. Обозначим точки касания из точки C с окружностью как E, а из точки D как F. Тогда углы ∠AEC и ∠AFD равны 90°.
3. По свойству касательных из одной точки к окружности, отрезки CE и DF равны.
4. Рассмотрим треугольники AEC и AFD. Углы ∠AEC и ∠AFD равны 90°, и у нас имеются равные отрезки CE и DF.
5. Таким образом, треугольники AEC и AFD подобны по двум углам, следовательно, линии AE и AF пересекаются на прямой AB.
6. Из этого следует, что точка пересечения касательных CE и DF будет лежать на прямой AB.
ответ:
касательные из точек C и D пересекаются на прямой AB.