дано:
- прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, где ∠C = 90°.
- один катет AB и гипотенуза AC видны из некоторой точки O под углами 135°.
найти:
доказать, что точка O лежит на медиане треугольника ABC.
решение:
1. Обозначим угол ∠OAB = 135° и угол ∠OAC = 135°.
2. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы ∠CAB и ∠ABC равны. Обозначим их как α. Тогда:
∠CAB + ∠ABC + ∠C = α + α + 90° = 180°.
3. Таким образом, α = 45°.
4. Угол ∠OAB = 135° означает, что угол ∠OAC = 180° - (∠OAB + ∠CAB) = 180° - (135° + 45°) = 0°.
5. Это указывает на то, что точка O находится на прямой, проходящей через точки A и B, а также на линии, соединяющей A и C.
6. Поскольку AO является продолжением медианы AM (где M — середина отрезка BC), то точка O лежит на медиане треугольника ABC.
ответ:
данная точка O лежит на медиане треугольника ABC.