Дано:
Параллелограмм ABCD, точки P и Q находятся на сторонах AB и AD соответственно. Соединили точки P и Q с вершинами B, C и D.
Найти:
Показать, что площадь одной из закрашенных частей равна сумме площадей других.
Решение:
1. Обозначим площади закрашенных частей:
- S1 — площадь треугольника ABQ,
- S2 — площадь треугольника BCP,
- S3 — площадь треугольника CDQ,
- S4 — площадь треугольника DAP.
2. Площадь параллелограмма ABCD равна S_total = S1 + S2 + S3 + S4.
3. Заметим, что треугольники ABQ и CDQ имеют одну и ту же высоту, проведенную из точек Q и P на основании AB и CD.
4. Площадь S1 может быть выражена как:
S1 = (1/2) * AB * h1,
где h1 — высота треугольника ABQ.
5. Площадь S3 также может быть выражена как:
S3 = (1/2) * CD * h2,
где h2 — высота треугольника CDQ.
6. Так как AB || CD, то h1 = h2.
7. Запишем площади S1 и S3:
S1 = (1/2) * AB * h,
S3 = (1/2) * CD * h.
8. Поскольку AB = CD, то S1 = S3. Таким образом, S1 + S3 = 2 * S1.
9. Также можно выразить площади S2 и S4:
S2 = (1/2) * BC * h3,
S4 = (1/2) * AD * h4.
10. Поскольку BC || AD, высоты h3 и h4 также равны.
11. Теперь мы можем записать уравнение для площади параллелограмма:
S_total = S1 + S2 + S3 + S4.
12. Поскольку S1 + S3 = 2 * S1 и S2 + S4 = 2 * S2, то:
S_total = 2 * S1 + 2 * S2.
13. Следовательно, S1 = S2 + S4 (или аналогично для S2).
Ответ:
Площадь одной из закрашенных частей равна сумме площадей других.