Дано:
Треугольник ABC. На стороне AB взята точка M, такая что AM / MB = 2 / 3. На стороне BC взята точка K, такая что BK / KC = 4 / 5.
Найти:
В каком отношении прямая, проходящая через середину отрезка MK и вершину B, делит сторону AC.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть AM = 2x, тогда MB = 3x.
- Таким образом, AB = AM + MB = 2x + 3x = 5x.
2. Обозначим длины отрезков на стороне BC:
- Пусть BK = 4y, тогда KC = 5y.
- Таким образом, BC = BK + KC = 4y + 5y = 9y.
3. Найдем координаты точек:
- Пусть A(0, 0), B(5x, 0), C(5x, h).
- Тогда M(2x, 0) и K(5x, 4h/9).
4. Найдем координаты середины отрезка MK:
- Координаты M = (2x, 0).
- Координаты K = (5x, 4h/9).
- Середина MK: S = ((2x + 5x) / 2, (0 + 4h/9) / 2) = (7.5x, 2h/9).
5. Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки S и B.
- Координаты B = (5x, 0).
- Угловой коэффициент k = (2h/9 - 0) / (7.5x - 5x) = (2h/9) / (2.5x) = (4h) / (45x).
6. Уравнение прямой в точке B:
- y - 0 = (4h / 45x)(x - 5x).
- y = (4h / 45x)(x - 5x) = (4h / 45x)(-4x) = -16h / 45.
7. Теперь найдем точку пересечения этой прямой с отрезком AC:
- Уравнение прямой AC: y = (h / 5x)(x - 0) = (h / 5x)x = (h / 5).
8. Приравняем y:
- (h / 5) = -16h / 45.
- Упрощая уравнение, получим:
- 45h = -80h.
- Таким образом, точка пересечения делит отрезок AC в отношении 16:5.
Ответ:
Прямая делит сторону AC в отношении 16:5.