Дано:
- Треугольник ABC.
- На стороне AB выбрана точка M, такая что AM : MB = 1 : 2.
- На стороне BC выбрана точка K, такая что BK : KC = 1 : 2.
Найти:
- В каком отношении AО : OC, если площади треугольника BОC и четырехугольника AMKB равны.
Решение:
1. Обозначим всю площадь треугольника ABC как S.
2. Поскольку AM : MB = 1 : 2, можно выразить площади треугольников:
Площадь(AMK) = (1/3) * S (так как AM составляет 1/3 от AB).
Площадь(MBK) = (2/3) * S.
3. Аналогично, поскольку BK : KC = 1 : 2, площади будут равны:
Площадь(BKC) = (1/3) * S,
Площадь(KC) = (2/3) * S.
4. Теперь найдем площадь четырехугольника AMKB:
Площадь(AMKB) = Площадь(ABC) - Площадь(BKC) = S - (1/3) * S = (2/3) * S.
5. По условию задачи, площади треугольника BOC и четырехугольника AMKB равны:
Площадь(BOC) = Площадь(AMKB) = (2/3) * S.
6. Сумма площадей треугольников BOC и AMK равна:
Площадь(BOC) + Площадь(AMK) = Площадь(ABC).
7. Подставим известные значения:
(2/3) * S + (1/3) * S = S.
8. Теперь, чтобы найти отношение AО : OC, будем использовать высоты из точки B на основание AC.
Высота из B к AC будет одинаковой для обоих треугольников BOC и AMK.
9. Площадь треугольника BOC можно выразить так:
Площадь(BOC) = (1/2) * OC * h,
где h - высота из B к AC.
10. Таким образом, имеем:
(1/2) * OC * h = (2/3) * S.
11. Площадь AMK также можно выразить:
Площадь(AMK) = (1/2) * AO * h,
где AO + OC = AC.
12. Теперь мы знаем, что:
(1/2) * AO * h = (1/3) * S.
13. Используя соотношения между AO и OC, установим следующее:
AO / OC = (1/3) : (2/3) = 1:2.
Ответ:
AO : OC = 1 : 2.