На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли точки М и К так, что АМ : МВ = ВК : КС = 1 : 2. Вершину В соединили отрезком с такой точкой О на стороне АС, чтобы площади закрашенных на рисунке треугольника и четырёхугольника были равны. Найдите АО : ОС.
от

1 Ответ

Дано:
- Треугольник ABC.
- На стороне AB выбрана точка M, такая что AM : MB = 1 : 2.
- На стороне BC выбрана точка K, такая что BK : KC = 1 : 2.

Найти:
- В каком отношении AО : OC, если площади треугольника BОC и четырехугольника AMKB равны.

Решение:
1. Обозначим всю площадь треугольника ABC как S.

2. Поскольку AM : MB = 1 : 2, можно выразить площади треугольников:
   Площадь(AMK) = (1/3) * S (так как AM составляет 1/3 от AB).
   Площадь(MBK) = (2/3) * S.

3. Аналогично, поскольку BK : KC = 1 : 2, площади будут равны:
   Площадь(BKC) = (1/3) * S,
   Площадь(KC) = (2/3) * S.

4. Теперь найдем площадь четырехугольника AMKB:
   Площадь(AMKB) = Площадь(ABC) - Площадь(BKC) = S - (1/3) * S = (2/3) * S.

5. По условию задачи, площади треугольника BOC и четырехугольника AMKB равны:
   Площадь(BOC) = Площадь(AMKB) = (2/3) * S.

6. Сумма площадей треугольников BOC и AMK равна:
   Площадь(BOC) + Площадь(AMK) = Площадь(ABC).

7. Подставим известные значения:
   (2/3) * S + (1/3) * S = S.

8. Теперь, чтобы найти отношение AО : OC, будем использовать высоты из точки B на основание AC.
   Высота из B к AC будет одинаковой для обоих треугольников BOC и AMK.

9. Площадь треугольника BOC можно выразить так:
   Площадь(BOC) = (1/2) * OC * h,
   где h - высота из B к AC.

10. Таким образом, имеем:
   (1/2) * OC * h = (2/3) * S.

11. Площадь AMK также можно выразить:
   Площадь(AMK) = (1/2) * AO * h,
   где AO + OC = AC.

12. Теперь мы знаем, что:
   (1/2) * AO * h = (1/3) * S.

13. Используя соотношения между AO и OC, установим следующее:
   AO / OC = (1/3) : (2/3) = 1:2.

Ответ:
AO : OC = 1 : 2.
от