Дано: треугольник ABC, точки E и K на сторонах AB и BC соответственно такие, что AE : EB = BK : KC = 1 : 2. Отрезки AK и CE пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 1.
Найти: какую часть площади треугольника ABC составляет четырёхугольник BEOK.
Решение:
1. Поскольку AE : EB = 1 : 2, точка E делит сторону AB в отношении 1 : 2. Аналогично, BK : KC = 1 : 2, и точка K делит сторону BC в отношении 1 : 2.
2. Площадь треугольника ABE равна 1/3 площади треугольника ABC (поскольку отрезок BE делит треугольник ABE на треугольник AEB и треугольник EBC, при этом AEB составляет 1/3 от ABE).
3. Площадь треугольника BKC также составляет 1/3 площади треугольника ABC по аналогичным рассуждениям (площадь BKC составляет 1/3 от BKC).
4. Медиана AE делит треугольник ABE на два треугольника с равными площадями, то есть треугольник BEO и треугольник BEC составляют 1/6 площади треугольника ABC. Аналогично, медиана CE делит треугольник CBE на два равных по площади треугольника, и треугольник BOE также составляет 1/6 площади треугольника ABC.
5. Площадь четырёхугольника BEOK равна площади треугольника BEC минус площадь треугольника BOK. Площадь треугольника BOK равна 1/6 площади треугольника ABC.
6. Площадь треугольника BEOK, следовательно, равна площади треугольника BEC (1/3 площади треугольника ABC) минус площадь треугольника BOK (1/6 площади треугольника ABC). Это дает:
Площадь BEOK = 1/3 - 1/6 = 1/6.
Ответ: Площадь четырёхугольника BEOK составляет 1/6 площади треугольника ABC.