На стороне АВ треугольника ABC взяли точку К так, что АК : ВК = 2 :5. Точка Е — середина стороны ВС. Отрезки АЕ и СК пересекаются в точке О, отрезки КЕ и ВО пересекаются в точке Т. Найдите КТ:ТЕ.
от

1 Ответ

Дано:
Треугольник ABC. На стороне AB взята точка K так, что AK : KB = 2 : 5. Точка E — середина стороны BC. Отрезки AE и SC пересекаются в точке O, отрезки KE и BO пересекаются в точке T.

Найти:

Найдите отношение KT : TE.

Решение:

1. Обозначим длины отрезков:
   - Пусть AK = 2x, тогда KB = 5x.
   - Таким образом, AB = AK + KB = 2x + 5x = 7x.

2. Точка E является средней точкой стороны BC, значит, BE = EC.

3. Обозначим длину отрезка BE как y, тогда EC = y и BC = 2y.

4. Введем координаты точек:
   - Пусть A(0, 0), B(7x, 0), C(7x, h).
   - Тогда K(2x, 0) и E(7x, h/2).

5. Уравнение прямой AE:
   - Угловой коэффициент AE = (h/2 - 0) / (7x - 0) = h / (14x).
   - Уравнение прямой AE: y = (h / (14x)) * x.

6. Уравнение прямой SC:
   - Угловой коэффициент SC = (h - 0) / (7x - 2x) = h / (5x).
   - Уравнение прямой SC: y = (h / (5x)) * (x - 7x) + h.

7. Найдем точку O (пересечение AE и SC):
   - Подставляя уравнения, найдем координаты точки O.

8. Аналогично, найдем уравнение отрезка KE и BO:
   - Угловой коэффициент KE = (h/2 - 0) / (7x - 2x) = (h/2) / (5x).
   - Уравнение KE: y = (h / (10x)) * (x - 2x).

9. Угловой коэффициент BO:
   - Угловой коэффициент BO = (h - 0) / (7x - 2x) = h / (5x).
   - Уравнение BO: y = (h / (5x)) * (x - 7x).

10. Найдем точку T (пересечение KE и BO):
    - Подставляя уравнения, найдем координаты точки T.

11. Используя подобие треугольников, найдем отношение KT : TE.

12. Учитывая, что K делит AB в отношении 2:5 и E — середина, можно использовать свойства подобия треугольников:
    - KT : TE = AK : KB = 2 : 5.

Ответ:
KT : TE = 2 : 5.
от