Дано:
Треугольник ABC. На стороне AB взята точка K так, что AK : KB = 2 : 5. Точка E — середина стороны BC. Отрезки AE и SC пересекаются в точке O, отрезки KE и BO пересекаются в точке T.
Найти:
Найдите отношение KT : TE.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- Пусть AK = 2x, тогда KB = 5x.
- Таким образом, AB = AK + KB = 2x + 5x = 7x.
2. Точка E является средней точкой стороны BC, значит, BE = EC.
3. Обозначим длину отрезка BE как y, тогда EC = y и BC = 2y.
4. Введем координаты точек:
- Пусть A(0, 0), B(7x, 0), C(7x, h).
- Тогда K(2x, 0) и E(7x, h/2).
5. Уравнение прямой AE:
- Угловой коэффициент AE = (h/2 - 0) / (7x - 0) = h / (14x).
- Уравнение прямой AE: y = (h / (14x)) * x.
6. Уравнение прямой SC:
- Угловой коэффициент SC = (h - 0) / (7x - 2x) = h / (5x).
- Уравнение прямой SC: y = (h / (5x)) * (x - 7x) + h.
7. Найдем точку O (пересечение AE и SC):
- Подставляя уравнения, найдем координаты точки O.
8. Аналогично, найдем уравнение отрезка KE и BO:
- Угловой коэффициент KE = (h/2 - 0) / (7x - 2x) = (h/2) / (5x).
- Уравнение KE: y = (h / (10x)) * (x - 2x).
9. Угловой коэффициент BO:
- Угловой коэффициент BO = (h - 0) / (7x - 2x) = h / (5x).
- Уравнение BO: y = (h / (5x)) * (x - 7x).
10. Найдем точку T (пересечение KE и BO):
- Подставляя уравнения, найдем координаты точки T.
11. Используя подобие треугольников, найдем отношение KT : TE.
12. Учитывая, что K делит AB в отношении 2:5 и E — середина, можно использовать свойства подобия треугольников:
- KT : TE = AK : KB = 2 : 5.
Ответ:
KT : TE = 2 : 5.