На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли точки Е и К так, что АЕ : ЕВ = ВК : КС = 1 : 2. На стороне АС взяли некоторую точку М. Отрезки ВМ и ЕК пересекаются в точке О. Известно, что треугольник ВОМ равновелик четырёхугольнику МОКС. Найдите АМ : СМ
от

1 Ответ

Дано: Треугольник ABC. На сторонах AB и AC выбраны точки E и K соответственно так, что AE : EB = BK : KC = 1 : 2. На стороне AC выбрана точка M. Отрезки BM и EK пересекаются в точке O. Треугольник BOM равен по площади четырёхугольнику MOKC.

Найти: AM : MC.

Решение:
1. Площадь треугольника BOM равна площади четырёхугольника MOKC. Площадь треугольника BOM можно выразить как 1/2 * BM * OM * sin(∠BOM).
   
2. Площадь четырёхугольника MOKC равна разности площади треугольника ABC и сумме площадей треугольников BOM и KMC:
   Площадь четырёхугольника MOKC = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника BMC - Площадь треугольника KMC.
   
3. Так как площади BOM и MOKC равны, можем записать:
   1/2 * BM * OM * sin(∠BOM) = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника BMC - Площадь треугольника KMC.
   
4. По свойствам подобия треугольников, так как AE : EB = 1 : 2 и BK : KC = 1 : 2, то и точки M и K должны делить сторону AC в пропорции 1 : 2, чтобы сохранить равенство площадей.

5. В итоге получаем, что AM : MC = 1 : 2.

Ответ: AM : MC = 1 : 2.
от