Дано: Треугольник ABC. На сторонах AB и AC выбраны точки E и K соответственно так, что AE : EB = BK : KC = 1 : 2. На стороне AC выбрана точка M. Отрезки BM и EK пересекаются в точке O. Треугольник BOM равен по площади четырёхугольнику MOKC.
Найти: AM : MC.
Решение:
1. Площадь треугольника BOM равна площади четырёхугольника MOKC. Площадь треугольника BOM можно выразить как 1/2 * BM * OM * sin(∠BOM).
2. Площадь четырёхугольника MOKC равна разности площади треугольника ABC и сумме площадей треугольников BOM и KMC:
Площадь четырёхугольника MOKC = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника BMC - Площадь треугольника KMC.
3. Так как площади BOM и MOKC равны, можем записать:
1/2 * BM * OM * sin(∠BOM) = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника BMC - Площадь треугольника KMC.
4. По свойствам подобия треугольников, так как AE : EB = 1 : 2 и BK : KC = 1 : 2, то и точки M и K должны делить сторону AC в пропорции 1 : 2, чтобы сохранить равенство площадей.
5. В итоге получаем, что AM : MC = 1 : 2.
Ответ: AM : MC = 1 : 2.