На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли точки М и K так, что АМ : ВМ = 1 : 2, ВК : СK = 3 : 5. Отрезки АK и СМ пересекаются в точке О. Найдите АО : KО.
от

1 Ответ

Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка M на стороне AB, такая что AM : MB = 1 : 2.
- Точка K на стороне BC, такая что BK : KC = 3 : 5.

Найти:
- Найти отношение AO : KO.

Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
   - Пусть AM = x. Тогда MB = 2x, и AB = AM + MB = x + 2x = 3x.
   - На стороне BC обозначим BK = 3y, тогда KC = 5y, и BC = BK + KC = 3y + 5y = 8y.

2. Теперь координаты точек можно выразить:
   - A(0, 0)
   - B(3x, 0)
   - M(1x, 0)
   - C(3y, h), где h — высота треугольника.
   - K(3y, 3y/8h).

3. Уравнения прямых AK и CM:
   - Прямая AK: y = k1 * (x - 0), где k1 — угловой коэффициент.
   - Прямая CM: y = k2 * (x - 3x), где k2 — угловой коэффициент.

4. Найдем координаты точки O, где линии AK и CM пересекаются. Для этого решим систему уравнений.

5. Используем теорему о разделении отрезков. Для отрезка AK:
   - AO : OK = AM : MK.

6. Для отрезка CM:
   - CO : OM = CK : KM.

7. Подставляем значения:
   - AO : KO = (1 : 2) * (3 : 5).

8. Таким образом, получаем:
   - AO : KO = 1/3 : 2/5 = 5 : 6.

Ответ:
AO : KO = 5 : 6.
от