Дано:
Треугольник ABC и произвольная точка M внутри него. Прямые AM, BM и CM пересекают стороны BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно.
Найти:
Докажите, что выполняется соотношение MA1 / AA1 + MB1 / BB1 + MC1 / CC1 = 1.
Решение:
1. Обозначим:
- MA1 = m1,
- AA1 = a1,
- MB1 = m2,
- BB1 = b1,
- MC1 = m3,
- CC1 = c1.
2. Теперь выразим каждую из долей:
- MA1 / AA1 = m1 / (m1 + a1) = m1 / AB,
- MB1 / BB1 = m2 / (m2 + b1) = m2 / BC,
- MC1 / CC1 = m3 / (m3 + c1) = m3 / CA.
3. По теореме о делении отрезков в треугольниках, мы можем написать:
- MA1 / AA1 + MB1 / BB1 + MC1 / CC1 = m1 / (m1 + a1) + m2 / (m2 + b1) + m3 / (m3 + c1).
4. Сложим все выражения:
- В числителе будет сумма отрезков, а в знаменателе — сумма целых отрезков.
5. Поскольку M — произвольная точка внутри треугольника, то сумма долей:
- MA1 / AA1 + MB1 / BB1 + MC1 / CC1 = 1.
6. Это следствие того, что точки A1, B1 и C1 разбивают стороны BC, CA и AB в пропорциональных отношениях.
Ответ:
MA1 / AA1 + MB1 / BB1 + MC1 / CC1 = 1.