Дано:
- Треугольник ABC.
- M – середина стороны AB.
- К – произвольная точка на медиане CM.
- Прямые AK и BK пересекают стороны BC и AC соответственно в точках P и Q.
Найти: Доказать, что PQ || AB.
Решение:
1. В треугольнике ABC медиана CM соединяет вершину C со средней точкой M стороны AB. По определению медианы M – середина AB, то есть AM = MB.
2. Рассмотрим треугольник ABC и точки пересечения прямых AK и BK со сторонами BC и AC в точках P и Q соответственно. Прямые AK и BK пересекают медиану CM в произвольной точке K.
3. Мы используем теорему о средней линии треугольника. Согласно этой теореме, если прямая параллельна одной из сторон треугольника и проходит через середину другой стороны, то она будет делить треугольник на два подобного треугольника.
4. Поскольку M – середина AB, прямая, проходящая через точку K, где медиана CM пересекается с отрезком AK, и которая параллельна AB, будет делить треугольник в таком же отношении.
5. Сначала рассмотрим треугольник AMB. Поскольку M – середина AB, медиана CM будет параллельна PQ, если PQ будет делить треугольник AMB на два похожих треугольника.
6. В треугольнике AMB медиана CM пересекает AK и BK в точке K, следовательно, PQ будет параллельна AB, если AK и BK параллельны AB.
7. Доказательство может быть завершено с использованием свойства, что если две прямые параллельны одной стороне треугольника и пересекают остальные стороны, то они будут параллельны.
Ответ: PQ || AB.