Дано:
Многоугольник ABCDE, описанный вокруг окружности с радиусом r. Пусть p — половина периметра многоугольника.
Найти:
Докажите, что площадь многоугольника S можно вычислять по формуле S = pr.
Решение:
1. Обозначим стороны многоугольника как a1, a2, a3, ..., an.
2. Поскольку многоугольник описан вокруг окружности, каждая сторона многоугольника касается окружности. Это означает, что отрезки, проведенные от центра окружности перпендикулярно к каждой стороне, равны радиусу r.
3. Обозначим длины сторон как:
- a1 = AB,
- a2 = BC,
- a3 = CD,
- a4 = DE,
- a5 = EA.
4. Периметр многоугольника P равен:
P = a1 + a2 + a3 + a4 + a5.
5. Половина периметра p равна:
p = P / 2.
6. Площадь S многоугольника можно представить как сумму площадей треугольников, образованных радиусами и сторонами многоугольника:
S = (1/2) * (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) * r.
7. Таким образом, площадь S можно выразить через половину периметра:
S = p * r.
8. Это верно для любого многоугольника, описанного вокруг окружности.
Ответ:
Площадь многоугольника S = pr, где p — половина периметра многоугольника.